Ebob-Ekok

EBOB-EKOK

Soruları çözerken  önemli ipuçlarını yakalamak lazım. Dikkat edilmesi gerekenler
1.  Ebobları verilen sayılar mutlaka ebobun katı olmalıdır.

ÖRNEK: Ebobu 7 olan iki basamaklı 3 doğal sayının toplamı en çok kaçtır?

   
        Ebobu 7 olduğundan 7 nin katı olan iki basamaklı sayıları düşünmeliyiz. En büyük değer istendiği için 7nin katı en büyük iki basamaklı sayıları bulalım.  Bunlar 98 , 91 ve 84 tür . üç  sayı da 7 nin katı ve iki basamaklı en büyük sayılardır. Dolayısıyla toplamları 98+91+84=273 olmalı.

ÖRNEK: ebob(a,b)= 3 ve a/b=5/7 ise a+b kaçtır?

a/b=5/7 olduğundan a=5k ve b=7k olmalı. Dikkat ederseniz ikisinde de k ortak. Dolayısıyla k=ebob olmalı. K yerine 3 yazarsak a=3.5=15 ve b=3.7=21 bulunur. Toplamları da 15+21=36 dır.

ÖRNEK: ebobları 12 olan farklı 3 doğal sayının toplamı en az kaçtır?

     
    Ebobları 12 olduğundan burada da 12nin katı olan en küçük doğal sayılar alınmalı. Bunlar 12, 24 , 36 dır. Ve toplamları 12+24+36=72 bulunur.

ÖRNEK: x ve y tam sayılardır.

         Ebob(x,y)=5 ve x+y=120 olduğuna göre x.y çarpımı en çok kaçtır?

    
    Ebobları 5 olduğu için x=5k ve y=5t olmalı. Burada k ve t aralarında asal sayılardan seçilmeli. Yoksa ebobu değişir. X ve y yerine yazarsak

5k+5t=120

Her iki tarafı 5 e bölersek k+t=24 elde edilir. Çarpımın en büyük olması için birbirine en yakın toplamları 24 olan iki sayı seçilmelidir. Bunlar da 11 ve 13 tür.

K=11 için t=13 gelir ve x=5.11=55 , y=5.13=65 olur.

x. y=55.65=3575 en büyük değeridir.

2.  Aralarında asal sayıların ebobunun 1, ekokunun sayıların çarpımı olduğu unutulmamalıdır.

Ebob(a,b)=1 ise sayılar aralarında asaldır ve ekok(a,b)=a.b dir

ÖRNEK:  a ve b ardışık sayılardır.

EBOB(a,b)+EKOK(a,b)=381 ise a+b kaçtır?

           
 Ardışık sayıların aralarında asal sayı olduğu bilindiğine göre   a ve b nin  ebob(a,b)=1 ve ekok(a,b)=a.b dir. Yerine yazarsak

               1+a.b=381

                  a.b=380 ulaşılır. 380 ardışık iki sayının çarpımı olarak yazılırsa elde edilen sayılar 19 ve 20 olur. 19.20=380. Yani sayılarımız 19 ve 20 dir. Toplamları da 19+20=39 olur.

ÖRNEK:   a ve b 1’den büyük aralarında asal doğal sayıdır.

Ebob(a,b)=7-m ve ekok(a,b)=88.m ise a+b toplamının en büyük değeri kaçtır?

       
   a ve b aralarında asal olduğundan ebobları 1 dir. Yani 7-m=1 ise m=6 bulunur. Ekokta yerine yazarsak Ekok(a,b)= 88.6 =528 olur. Ekokları da bu iki sayının çarpımıdır demiştik. Yani a.b= 528 dir. Şimdi değer verelim.

a=2 için b=264 olur ama 2 ile 264 aralarında asal değildir.

a=3 için b=176 olur ki bu iki sayı aralarında asaldır. O halde aradığımız sayılar 3 ve 176 olur. Toplamları ise 3+176=179 dur.

ÖRNEK: A ve B aralarında asal sayılar. 
ebob (3A , 3B ) + ekok ( 5A , 5B ) = 183 olduguna göre , A.B kaçtır ? 

          
Ebob(3A,3B)=3 ve ekok(5A,5B)=5.A.B olur aralarında asal oldukları için.

Buna göre yerine yazarsak 3+5A.B=183

                                          5.A.B=180 ve her iki tarafı 5 e bölersek

                                            A.B= 36 gelir.

3. a ve b yi bölen en büyük sayı isteniyorsa ebob isteniyor; a ve b ye bölünebilen en küçük sayı isteniyorsa ekok isteniyor demektir.

ÖRNEK: 5 , 6 ve 8 ile tam bölünebilen en küçük sayı kaçtır?

        
  Bölünebilen sayı istendiği için 5, 6 ve 8 in ekokunu bulalım. Bu 3 sayının ekoku 120 dir. Dolayısıyla en küçük sayı 120 olur.

ÖRNEK: Oğuz fındıklarını altışar, yedişer ve sekizer saydığında hep 4 fındığı artıyor. Oğuz’un fındık sayısı 3 basamaklı bir sayı olduğuna göre en az kaçtır?

    
           Oğuz’un fındık sayısına A dersek

A=6a+4= 7b+4= 8c+4 olur. 4 fındığı çıkarırsak geriye kalan fındıklar 6’ya , 7’ye ve 8’e tam bölünüyor demektir. Yani

A-4= 6a= 7b= 8c olur. Şimdi 6, 7 ve 8 in ekokunu alalım.

Ekok(6,7,8)=168 dir ve üç basamaklı en küçük sayıdır bu 3 sayı ile bölünebilen. O halde A-4=168 ise A=172 olur. Yani Oğuz’un en az 172 fındığı vardır.

ÖRNEK: abc= 5x+2=6y+3=7z+4 eşitliğini sağlayan 3 basamaklı en büyük abc sayısı için a+b+c toplamı kaçtır?

  
             Burada dikkat edilmesi gereken 5 ile 2 arasında 3 fark var, 6 ile 3 arasında 3 fark var, 7 ile 4 arasında 3 fark var. Eğer ben bu denkleme 3 eklersem

abc+3=5x+5=6y+6=7z+7 elde edilir ki bu da abc+3 sayısının 5, 6 ve 7 ye tam bölünüyor demektir. Şimdi de 5, 6 ve 7 nin ekokunu alalım. Ekok(5,6,7)=210

üç basamaklı en büyük sayı dediği için 210.4=840 tır. Yani abc+3=840 ise abc=837 gelir. a=8  ,  b=3 ,  c=7 dir. a+b+c=8+3+7=18 dir.

4.    Ebob-ekok problemlerinde ‘en az’ ve ‘eşit’ kelimelerinin ikisi de varsa bu ebob alınacak anlamına gelir.

Eğer sadece ‘en az ‘ geçiyorsa bu da ekok alınacak anlamına gelir.

Bir diğer deyişle büyük bir parçayı küçük parçalara ayırıyorsanız ebob, küçük parçaları biraraya getirip büyük bir parça oluşturacaksanız ekok alınacak demektir.

ÖRNEK: Kenar uzunlukları 24m ve 42m olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçe eş kare şeklinde parsellere ayrılıp her karenin ortasına birer ağaç dikilecektir. Bu iş için en az kaç ağaç gerekir?

      
    Bakın sorunun içinde hem eş hem de en azı birlikte kullanmış demek ki ebob almamız gereken bir soru. Ebob(24,42)=6 dır. bulduğumuz bu 6 ise karenin bir kenar uzunluğunun en büyük değerini verir bize. Bundan sonra alanlar oranından gideceğiz.

   24.42    =28 bulunur ki bu da bize gerekli olan en az ağaç sayısıdır.

      6.6

ÖRNEK: 45m, 60m ve 90m uzunluğundaki  üç top kumaş eşit uzunluktaki parçalara ayrılmak isteniyor. Bu işlem sonucunda en az kaç parça elde edilir?

     
        Yukarıdaki gibi yine bu soruda da eşit ve en az bir arada kullanılmış. Yine bir ebob sorusudur o halde. Ebob(45,60,90)=15 tir. Bulduğumuz 15 ise bir parça kumaşın kaç m olacağını gösterir. Yani biz 15er m parçalara ayıracağız. O halde

45/15=3 parça    60/15=4 parça      90/15=6 parça eder. Toplamda 3+4+6=13 parçaya ayrılmış olur.

ÖRNEK: Boyutları 30m, 45m ve 60m olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir depo en büyük ölçüdeki eş küp şeklindeki kolilerle doldurulmak isteniyor. Bu işlem için en az kaç koli gereklidir?

            
  Yine bir ebob sorusu çünkü eş ve en az kullanılmış. Ebob(30,45,60)=15 tir. O halde bir kolinin bir ayrıtı 15m olmalı. 3 boyutlu bir cisimden bahsettiğimiz için hacimler oranından gideceğiz. Yani

     30.45.60 = 450  adet koli gereklidir.

        6.6.6

ÖRNEK: Kenar uzunlukları 15cm ve 20cm olan dikdörtgen şeklindeki karolarla bir kare elde edilmek isteniyor. En az kaç karoya ihtiyaç vardır?

           
  Bu soruda sadece en az kullanılmış yani ekok almamız gerekiyor. Ekok(15,20)=60 bulduğumuz bu sayı bize oluşacak karenin bir kenar uzunluğunu verir. Bu kez büyük olan kare olduğundan karenin alanı/dikdörtgenin alanı sonucu verir.      60.60 =12 dir. demek ki 12 karo bize yeterli.

              15.20

ÖRNEK:  Boyutları 10cm, 12cm ve 15cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki kutularla bir küp elde edilmek isteniyor. En az kaç kutu gereklidir?

Küçük parçaları bir araya getirip büyük bir parça elde etmek istiyoruz. o halde ekok almamız gereken bir sorudur. Ekok(10,12,15)=60 bulduğumuz bu sayı bize küpün bir ayrıtını verir. Hacimler oranını alırsak       60.60.60 =120 bulunur. Bize gerekli olan 120 adet kutudur
   10.12.15

5.    İki sayının ebob ve ekokunun çarpımı bu iki sayının çarpımını verir.

Yani Ebob(a,b).Ekok(a,b)= a.b dir

ÖRNEK: Obeb ile Okek’leri çarpımı 1048 olan iki sayıdan biri 262 ise diğeri kaçtır?

           
Diğer sayıya x dersek yukarıdaki formülde yerine yerleştirelim.

Obeb.Okek=x.262

1048=262.x ise her iki tarafı 262 ye böldüğümüzde x=4 gelir.